Cette séquence est pour l’élève de 8eAF la première initiation au calcul systématique « avec des lettres », prenant appui sur la maîtrise du calcul numérique. Même si des formules avec des lettres ont déjà été vues par les élèves en géométrie, le calcul littéral et en particulier la notion d’inconnue introduits dans cette séquence constituent une difficulté importante pour les élèves. L’approche par la résolution de problèmes permet de rendre naturelle l’introduction de la notion d’inconnue.
Calcul littéral⚓
Présentation de la séquence et documents à télécharger⚓
Compétence(s) ciblée(s)
M1a
M1b
M1c
M1d
M2e
Savoirs, savoir-faire, savoir-être/attitudes à acquérir
Passage du calcul numérique au calcul littéral. Initiation à l’utilisation d’une inconnue pour la résolution de problèmes.
Prérequis
Maitriser les opérations simples et complexes et les règles de priorité dans le calcul numérique. Calcul mental.
Stratégie d’enseignement-apprentissage
La séquence est divisée en trois étapes :
utilisation des formules de géométrie (périmètre, aire…) comme programme de calcul ;
manipulation d’expressions littérales de complexité croissante, en prenant appui sur le calcul numérique que les élèves connaissent ;
introduction de la notion d’inconnue pour la résolution de problèmes.
En proposant des activités, des exercices simples et des résolutions de problèmes mettant en jeu, de manière progressive, le calcul littéral, on va accompagner les élèves dans le franchissement de cette étape importante de la formation mathématiques en 3e cycle du Fondamental. Pour les phases de recherche, on aura intérêt à faire travailler les élèves par groupes hétérogènes de 4 ou 5 ayant au moins un élève avancé dans chaque groupe.
La raison pédagogique de cette décision est :
Accroître la motivation de tous les élèves ;
Mettre tous les élèves au travail ;
Faire en sorte qu’aucun élève ne se décourage lors d’une séance.
Découpage en séances
Séance | Thème, place dans la séquence et très brève description |
séance 1 Utilisation de formules comme programmes de calcul | Rappels sur les formules du périmètre et de l’aire d’un rectangle, d’un triangle, d’un disque. Substitution de valeurs numériques dans des formules. |
séance 2 Simplification et réduction d’expressions littérales | Manipulations d’expressions littérales additives et multiplicatives ; regroupement de termes de même nature |
séance 3 Développement et réduction d’une expression littérale | Manipulations d’expressions littérales mixtes ; développement |
séance 4 Résolution de problèmes où il s’agit de déterminer une quantité numérique | Factorisation d’expressions littérales |
séance 5 Mise en équation | Résolution de problèmes de détermination d’une quantité inconnue |
séance 6 Mise en équation | Introduction de la notion d’inconnue pour la résolution de problèmes |
séance 7 Evaluation sommative |
Support et matériel
Cahier, feuille, plume
Modalités d’évaluation
Avant de commencer la séquence, il est recommandé de faire une évaluation initiale diagnostique permettant de vérifier et de réactiver les connaissances des élèves sur le calcul numérique (associativité, commutativité, distributivité, opposé d’une somme, inverse d’un produit). Comme toujours, il doit y avoir une évaluation formative, en fin de chaque séance, et une évaluation sommative en fin de séquence.
Prolongements éventuels
Le calcul littéral sera bien sûr revu et approfondi à de multiples occasions en 8e et 9e AF, ce qui laisse du temps pour une assimilation progressive. Mais il est important que l’enseignant repère les élèves qui seraient en très grande difficulté, et à qui des dispositifs de remédiation doivent être proposés.
Séance 1. Utilisation de formules comme programmes de calcul⚓
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | L’enseignant demande à la classe de lui donner les formules vues en géométrie donnant les périmètres et les aires de certaines figures géométriques. Puis il leur demande comment on va faire pour calculer le périmètre ou l’aire quand on connaît, les côtés, le rayon… | Les élèves donnent au professeur les formules pour le carré, le rectangle, le triangle, le disque. |
Temps 2 Recherche | 20 min | L’enseignant distribue aux élèves le document 1 et leur demande de résoudre individuellement successivement les exercices 1 à 5. Au fur et à mesure, l’enseignant demande aux élèves de faire état de leurs travaux. | Les élèves travaillent individuellement et demandent l’aide de leurs camarades et de l’enseignant s’ils en ressentent le besoin. |
Temps 3 Cours | 15 min | Deux élèves désignés par l’enseignant se présentent et expliquent comment ils ont fait. L’enseignant détaille les exemples : aire du carré, du disque, périmètre du rectangle, aire du triangle. Il conclut avec les élèves qu’il faut substituer les lettres par leur valeur, et dicte la trace écrite. | |
Temps 4 Évaluation formative | 10 min | L’enseignant demande aux élèves de finir les exercices du document 1. | Les élèves traitent les exercices individuellement. Si besoin, ils demandent de l’aide au professeur. |
Production attendue
Au cours de cette séance, l’enseignant donne des stratégies pour chaque étape aux élèves qui éprouvent des difficultés, puis il les laisse travailler seuls.
Trace écrite pour l’élève
Un « programme de calcul » est un procédé mathématique qui permet de calculer un nombre à partir d’un ou plusieurs nombres en suivant une suite d’opérations déterminée. Exemple : calculer l’aire d’un rectangle à partir de ses côtés passer d’un nombre à un autre.
Un programme de calcul s’écrit comme une liste d’instructions, à effectuer dans l’ordre.
Éléments de remédiation
Pour aider les élèves qui ne comprennent pas quelques notions du cours, l’enseignant peut penser à une remédiation immédiate.
Séance 2. Simplification et réduction d’expressions littérales⚓
Supports et matériel
Cahier, Plume, Document 2
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 5 min | L’enseignant explique que le calcul littéral, c’est du calcul avec des lettres. Les lettres représentent des nombres qu’on ne connaît pas (dans ce cas la lettre est appelée une inconnue) ou quand ils représentent des nombres qui peut changer (on l’appelle alors une variable). Il fait remarquer que les formules d’aires et de périmètres utilisés à la séance précédente, sont appelées des expressions littérales. L’enseignant explique que dans cette séance et les deux suivantes, on va apprendre à « calculer avec les lettres ». | |
Temps 2 Recherche | 20 min | L’enseignant explique qu’on va apprendre des techniques pour simplifier (on dit aussi réduire) des expressions littérales. et donne un exemple dans la vie quotidienne :
Il distribue alors le document 2 et demande aux élèves de traiter l’exercice 1. Par la suite, il interroge un ou plusieurs élèves pour le corriger au tableau. Il explique aussi que quand on a une expression avec seulement des additions, on peut les regrouper comme on veut \((a+b)+c=a+(b+c)\) Pour appuyer ses propos il donne l’exemple suivant : « nderson, Violine et Kensia ont acheté des bonbons. Anderson a dépensé 10 gourdes, Violine 3 gourdes, Kensia 12 gourdes. \(25 = 13 + 12 = 10 + 15\) » En s’appuyant sur la réponse des élèves, il explique qu’il est possible de réduire des expressions littérales en réunissant des termes de même nature. Il demande aux élèves de traiter l’exercice 2 du document 2. Par la suite, il interroge un ou plusieurs élèves pour le corriger au tableau. | Les élèves traitent individuellement l’exercice et demande de l’aide au professeur si besoin. Les élèves traitent individuellement l’exercice et demandent de l’aide au professeur si besoin. |
Temps 3 Cours | 20 min | L’enseignant fait la synthèse : On peut cacher les symboles de multiplication « \(×\) » : \(5\times x=5x\) ; \(a\times b=ab\), mais il ne faut jamais supprimer les symboles de multiplication entre deux nombres, car ça crée des erreurs. Exemple : \(7\times 5 \ne 75\) La multiplication est commutative, c’est-à-dire que les facteurs peuvent « être déplacés » :
Il prend du temps pour expliquer le point délicat que \(-a\) n’est pas toujours un nombre négatif. L’addition est associative, c’est-à-dire qu’on peut regrouper les termes comme on le souhaite : \((a+b)+c=a+(b+c)\) Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes d’une même famille ou tous les termes semblables. Il explique que l’on ne demande pas aux élèves d’apprendre ces formules par cœur, mais de comprendre que les formules traduisent des faits qu’ils connaissent déjà. Il ajoute qu’il est toujours utile de vérifier les formules en donnant des valeurs numériques. Il indique également que ce qui a été introduit ici fera l’objet de nombreux autres cours dans cette séquence, plus tard cette année et l’année prochaine. | Les élèves prennent note dans leur cahier et pose des questions si besoin. |
Temps 4 Évaluation formative | 10 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter le reste des exercices du document 1. Les élèves travaillent individuellement sur les exercices. Si besoin, ils demandent de l'aide au professeur. |
Production attendue
Tout au long de la séance, tous les élèves s’évertuent pour bien comprendre le concept présenté par l’enseignant, cela n’empêche qu’une faible partie passe à côté par moment.
Trace écrite pour l’élève
Règle : En calcul littéral, afin de simplifier les écritures algébriques, nous ne noterons plus le signe « × » dans les situations suivantes :
Lorsqu’il est situé entre deux lettres
Lorsqu’il est situé entre un nombre et une lettre
Lorsqu’il est suivi d’une parenthèse
Exemples :
\(x\times y=xy\)
\(2\times a=2a\)
\(4\times (p+5)=4(p+5)\)
\(x\times x=x²\)
Remarque :
\(1_times a\) se note \(a\) et pas \(1a\)
Règles :
\(\frac{1}{a} \times \frac{1}{b}= \frac {1}{(a \times b)}\)
\(-(-a)=a\)
La multiplication est commutative, c’est-à-dire que les facteurs peuvent « être déplacé » : \(5\times a\times 2=5\times 2\times a=10\times a=10a\)
Réduire une expression algébrique, c’est simplifier au maximum cette écriture en regroupant tous les termes de même nature.
Exemples :
\(D=7x+3+6=7x+9\)
\(E=2x+9+4x-6=6x+3\)
\(F=3x^2+7x+11-2x^2-4x-5 = x^2+3x+6\)
Éléments de remédiation
Pour aider les élèves qui ne comprennent pas totalement la séance, l’enseignant encourage l’enseignement par les pairs.
Séance 3. Développement et réduction d’une expression littérale⚓
Supports et matériel
Cahier, feuille de papier, plume, document 3
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 15 min | L’enseignant commence par demander aux élèves comment calculer sans calculatrice et sans poser l’opération : \(7\times 12\) ;\(4\times (7+13)\) ; \(87\times 11\). En fonction des réponses des élèves, l’enseignant rappelle qu’en calcul mental, il est utile de faire des décompositions comme celles qui sont à droite. Puis il explique que dans cette séance, on va continuer l’apprentissage des règles du calcul littéral, en mélangeant additions, soustractions multiplications et divisions. | Beaucoup d’élèves vont dire que c’est trop difficile. L’enseignant circule dans la classe pour les encourager et les aider. Peut-être certains élèves pensent décomposer :
|
Temps 2 Recherche | 15 min | L’enseignant dessine au tableau deux rectangles juxtaposés ABCD et BEFC ayant pour largeur k et pour longueurs a et b respectivement.
Il dit aux apprenants de se placer par petits groupes et leur demande de répondre aux questions suivantes :
L’enseignant circule au sein de la classe pour venir en aide aux groupes en difficultés et donne les indices et les explications nécessaires pour que l’ensemble des élèves comprennent. Lorsque l’enseignant sent les élèves prêts, il demande à 3 groupes de venir présenter leur réponse aux questions 2, 3 et 4. | Les élèves se placent par groupes pour répondre aux questions demandées. Si besoin ils appellent le professeur pour des explications supplémentaires. Les élèves volontaires expliquent leur réponse. |
Temps 3 Cours | 10 min | L’enseignant explique que la formule trouvée permet de transformer un produit en somme, permettant de supprimer des parenthèses. Il rappelle les formules à retenir : \(k\times (a + b)= k\times a + k\times b\) ou \((a + b)\times k = a\times k + b\times k\) \(k\times (a - b)= k\times a - k\times b\) ou \((a - b)\times k = a\times k - b\times k\) Il rappelle qu’il faut par la suite si possible réduire l’expression obtenue en réunissant les termes de même nature. Il met en garde sur les formules FAUSSES telles que \(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\ne \frac{1}{(a+b)}\) | Les élèves prennent note dans leur cahier. |
Temps 4 Evaluation formative | 15 min | L’enseignant distribue le document 3 et demande aux élèves de traiter les exercices individuellement. Il circule dans la salle pour venir en aide aux élèves qui en ont besoin. | Les élèves travaillent individuellement et appellent le professeur s’ils en ressentent le besoin. |
Production attendue
L’enseignant incite les élèves à écrire tout au long de la séance, à résoudre les exercices proposés tout en les aidant incessamment. Ce qui permet aux élèves de faire l’acquisition des savoirs et de développer les compétences fixées.
Trace écrite pour l’élève
Développement d’une expression littérale
Développer une expression littérale consiste à transformer un produit en une somme ou en une différence. Quand on développe une expression littérale, on supprime les parenthèses.
Méthode
La multiplication est distributive par rapport à l’addition : \(k\times (a + b) = k\times a + k\times b\) ou \((a + b)\times k = a\times k + b\times k\)
On dit qu’on a développé l’expression \(k\times (a + b)\) ou \((a + b)\times k\)
La multiplication est distributive par rapport à la soustraction : \(k\times (a - b) = k\times a - k\times b\) ou \((a - b)\times k = a\times k - b\times k\)
On dit qu’on a développé l’expression \(k\times (a + b)\) ou \((a + b)\times k\)
Éléments de remédiation
Pour ne pas compromettre d’une part la maîtrise des compétences visées, et d’autre part la réussite des élèves ; l’enseignant décide d’organiser un tutorat pour permettre aux 10 % qui comprennent partiellement la séance de se rattraper.
Séance 4. Factorisation d’une expression littérale⚓
Supports et matériel
Cahier, plume, document 4
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min |
|
|
Temps 2 Recherche | 15 min | L’enseignant distribue le document 4 et demande aux élèves de traiter les exercices 1 et 2 par petits groupes. Lorsque cela lui semble opportun le professeur interroge différent groupe afin qu’ils expliquent leur résolution. | Les élèves traitent les exercices demandés par petits groupes et interpellent le professeur s’ils ont besoin d’aide. Les élèves désignés passent au tableau. |
Temps 3 Cours | 15 min | L’enseignant explique les règles :
Puis il explique que cela se généralise à plusieurs termes. Il incite les élèves à vérifier leurs calculs en développant le résultat trouvé. | Les élèves prennent en note dans leur cahier et posent des questions si besoin. |
Temps 4 Évaluation formative | 15 min | L’enseignant demande aux élèves de résoudre la suite des exercices du document individuellement. Il circule dans la salle afin de venir en aide à ceux qui en ont besoin. | Les élèves traitent les exercices demandés individuellement et interpellent le professeur s’ils ont besoin d’aide. |
Production attendue
Lors des essais pour les phases 1 et 2 (Découverte et recherche), tous les apprenants suivent les consignes de l’enseignant., ils écrivent tous les détails des calculs concernant leur raisonnement pour passer d’une ligne à une autre. Ce qui facilite amplement la correction soit d’un autre apprenant soit de l’enseignant.
Trace écrite pour l’élève
II – Factoriser
Définition : Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.
Propriétés : k, a et b désignent des nombres
\(k\times a + k\times b = k(a + b)\) : Somme en produit
\(k\times a - k\times b = k(a - b)\) : Différence en produit
Éléments de remédiation
Pour les élèves qui ont de grosses difficultés, l’enseignant fait appel à d’autres élèves qui ont compris pour les accompagner pour qu’ils puissent combler leurs lacunes et faciliter leur réussite.
Séance 5. Résolution de problèmes où il s’agit de déterminer une quantité numérique⚓
Supports et matériel
Cahier, plume, document 5
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | L’enseignant propose deux « équations à trous »
| Les élèves répondent aux questions de l’enseignant. |
Temps 2 Recherche | 30 min | L’enseignant distribue le document 5. Il demande aux élèves de se placer par petits groupes pour résoudre les exercices 1 à 3. L’enseignant demande à certains groupes d’expliquer leurs solutions. Puis il leur demande s’ils trouvent que les méthodes proposées sont efficaces. | Les élèves se placent par groupes pour travailler et demandent de l’aide au professeur si besoin. Les élèves ne savent pas trop quoi répondre, et ils n’osent pas dire que non, ce n’est pas très efficace. |
Temps 3 Cours | 5 min | L’enseignant explique qu’on va faire quelque chose de magique : donner un nom, sous forme d’une lettre, à la quantité qu’on cherche à déterminer. Très souvent, on utilise la lettre x. | |
Temps 4 Deuxième phase de recherche et évaluation formative | 10 min | L’enseignant demande aux élèves de refaire les exercices 2 et 3 individuellement, en nommant l’inconnue avec la lettre de leur choix. Il propose les exercices 4 et 5 aux élèves qui terminent rapidement ou les donne comme devoir à la maison. | Les élèves retravaillent individuellement les exercices demandés. |
Production attendue
Tout au long de la séance, les élèves notent les idées de résolution qu’ils ont trouvés et prennent la correction de l’enseignant si nécessaire.
Trace écrite pour l’élève
Une équation est une égalité dans laquelle intervient une ou plusieurs inconnue(s), désignée(s) le plus souvent par une lettre minuscule : \(x, y, a, b, t\), … Chaque lettre représente un nombre.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue telles que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.
Éléments de remédiation
Pour les élèves qui ont mal compris, l’enseignant fait appel à d’autres élèves qui ont compris pour les accompagner pour qu’ils puissent combler leurs lacunes et faciliter leur réussite.
Séance 6. Mise en équation⚓
Supports et matériel
Cahier, plume, document 6
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Recherche | 30 min | L’enseignant distribue le document 6 aux élèves et leur demande de traiter les exercices 1 et 2 par petits groupes. Il circule dans la classe afin d’identifier et de venir en aide aux groupes qui en ont besoin. Les élèves se placent par petits groupes et travaillent ensemble. Ils interpellent l’enseignant s’ils ont besoin d’aide. | Les élèves se placent par petits groupes et travaillent ensemble. Ils interpellent l’enseignant s’ils ont besoin d’aide. |
Temps 2 Cours | 5 min | L’enseignant explique la méthode à suivre :
Il avertit qu’il est important de choisir x de manière judicieuse afin de faciliter les calculs. Les élèves prennent note dans leur cahier. | Les élèves prennent note dans leur cahier. |
Temps 3 Évaluation formative | 20 min | L’enseignant demande aux élèves de finir la feuille individuellement. Il circule dans la classe afin d’identifier et de venir en aide aux élèves qui en ont besoin. | Les élèves travaillent individuellement. Ils interpellent l’enseignant s’ils ont besoin d’aide. |
Production attendue
Tout au long de la séance, les élèves notent les idées de résolution qu’ils ont trouvés et prennent la correction de l’enseignant si nécessaire.
Trace écrite pour l’élève
Identifier la quantité cherchée et la nommer par une lettre (\(x\) par exemple)
Ecrire l’équation traduisant la situation
Résoudre l’équation avec les méthodes travaillées durant les séances précédentes
Vérifier que la solution trouvée est correcte
Répondre à la question
Éléments de remédiation
Pour les élèves qui ont mal compris, l’enseignant fait appel à d’autres élèves qui ont compris pour les accompagner pour qu’ils puissent combler leurs lacunes et faciliter leur réussite.
Séance 7. Évaluation de la séquence calcul littéral⚓
Supports et matériel
Plume, feuille
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Introduction | 5 min | L’enseignant distribue le document 7 et le lit avec les élèves afin d’être sûre que les consignes soient comprises par tout le monde. | Les élèves posent des questions si besoin. |
Temps 2 Évaluation sommative | 50 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter les exercices de manière individuelle. | Les élèves traitent les exercices sur feuille de manière individuelle. |
Production attendue
Évaluation sommative
Éléments de remédiation
L’enseignant proposera une correction adaptée aux erreurs rencontrées lors de la correction des copies d’élèves. Il proposera des exercices de remédiation si besoin.