L’introduction des nombres entiers négatifs, puis les opérations sur les nombres entiers relatifs sont une étape importante et difficile pour les élèves de 8e Année Fondamentale. Dans cette séquence, on définit les nombres relatifs, leur placement sur une droite graduée, puis les opérations , la règle des signes.
L’apprentissage des nombres entiers relatifs est une étape dans la maîtrise des nombres en général, qui sont utilisées dans de nombreux cas dans la vie courante et dans les autres disciplines scolaires : frises chronologiques en histoire, les températures en sciences, altitudes (au-dessus ou en-dessous du niveau de la mer), sciences sociales, comptabilité…
L’élève de 8e AF a besoin d’acquérir de solides connaissances basées sur une bonne intuition des nombre relatifs.
Les nombres entiers relatifs⚓
Présentation de la séquence et documents à télécharger⚓
Compétence(s) ciblée(s)
Principales :
M1a : comprendre les nombres et leurs représentations, y compris leurs représentations visuelles et leurs usages la vie de tous les jours.
M1b : maîtriser le calcul sur les nombres, ce qui inclut comprendre le sens des opérations, avoir une pratique efficace des techniques et algorithmes de calculs avec ou sans l’utilisation d’instruments électroniques.
Indirectes :
M3 : Se situer et agir en citoyen responsable, dans un souci d’enrichissement, de préservation et de protection de la vie sociale et de l’environnement.
Savoirs, savoir-faire, savoir-être/attitudes à acquérir
Connaître les nombres entiers relatifs, et les représenter sur la droite graduée ;
Additionner, soustraire et multiplier deux nombres relatifs ;
Calculer une expression complexe (sommes, différences, produits) de nombre relatifs.
Prérequis
Nombres entiers naturels : placement sur la demi-droite graduée, comparaison, interprétations des opérations, capacité à faire des opérations simples et mixtes.
Stratégie d’enseignement-apprentissage
Faire acquérir le sens des nombres négatifs et des opérations sur ces nombres, afin que l’apprentissage des règles de calcul et des automatismes de calcul soient basées sur une compréhension des nombres et des opérations.
Découpage en séances
55 minutes par séance
Séance (Titre et durée) | Thème, place dans la séquence et très brève description |
séance 1 Introduction des nombres entiers relatifs (55 min) | Dans cette séance, les nombres entiers relatifs sont introduits à partir de situations concrètes (thermomètre). L’objectif est d’introduire la droite orientée graduée. |
séance 2 Comparaison des nombres entiers relatifs (55 min) | On adopte deux approches : l’une est géométrique (un nombre est plus grand qu’un autre s’il est à droite sur la droite orientée), l’autre est numérique (on compare les valeurs absolues et on prend en compte le signe). |
séance 3 Addition de deux nombre entiers relatifs (55 min) | L’addition des entiers est d’abord introduite à partir d’un exemple, et les élèves sont invités à faire différentes expériences numériques d’itération d’additions par des nombres de même signe ou de signe différent. Elle est ensuite interprétée comme des déplacements sur la droite des entiers relatifs. |
séance 4 Soustraction de deux nombres entiers relatifs (55 min) | La soustraction est introduite de la même manière que l’addition. Le lien entre addition et soustraction est ensuite mis en évidence. |
séance 5 Multiplication de deux nombres entiers relatifs (55 min) | L’interprétation de la multiplication de deux nombres entiers naturels comme itération d’addition est d’abord réactivée. Ensuite, on passe successivement à la multiplication \(a\times b\) avec \(a > 0\) et \(b<0\), puis \(a<0\) et \(b>0\) puis \(a<0\) et \(b<0\). Les élèves auront à effectuer le produit de deux entiers relatifs en tenant compte de la règle des signes. À la fin, on énonce la règle des signes qui est simple à retenir. |
séance 6 Calcul d’une expression mixte (55 min) | Dans cette séance, on applique ce qui a été fait précédemment pour développer la capacité à faire des calculs complexes. |
séance 7 Évaluation sommative de la séquence (55 min) | Le but de cette séance est de mesurer le niveau d’acquisition de l’ensemble des fondamentaux travaillés au cours de la séquence. |
Supports
Papier ;
Plume ;
Crayon ;
Règle.
Modalités d’évaluation :
Evaluation formative :
L’évaluation formative est faite par des exercices en cours et en fin de séance.
Evaluation finale (bilan) et critères/indicateurs de réussite :
En fin de séquence, une séance est consacrée à l’évaluation sommative.
Différenciation et adaptation aux élèves à besoins éducatifs particuliers
La compréhension des nombres entiers négatifs ne s’opère pas de la même façon et au même rythme pour tous les élèves. L’enseignant doit être attentif à ce que la progression s’appuie sur des représentations concrètes des nombres et des opérations, et débouche sur l’acquisition d’automatismes.
Séance 1. Introduction des nombres entiers relatifs⚓
Supports et matériel
Feuille ;
Plume ;
Cahier ;
Document élève 1.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 5 min | L’enseignant dessine ou affiche un thermomètre au tableau. Il demande aux élèves de :
Puis il/elle demande s’ils connaissent un pays où la température descend en dessous de 0 | Les élèves écoutent et répondent aux questions de l’enseignant. |
Temps 2 Recherche | 20 min | L’enseignant demande aux élèves s’ils connaissent la ville de Montréal et dans quel pays se situe-t-elle. Il explique que la température moyenne nocturne (la nuit) dans cette ville au moins de juin est d’environ 15°C.
L’enseignant attire l’attention de ses élèves sur la couleur des nombres au-dessus de 0 et de celle au-dessous de 0 et souhaite que chaque élève établisse une relation entre elles pour justifier ses réponses. | L’enseignant sollicite les élèves à former des groupes et à travailler avec le schéma du thermomètre pour répondre aux questions. |
Il demande aux élèves s’ils connaissent d’autres situations dans lesquelles ils rencontrent des nombres négatifs et positifs. Si besoin il les oriente. Il leur apprend que les nombres au-dessus de 0 sont appelés des entiers positifs, ceux qui sont au-dessous de 0 sont appelés des entiers négatifs. De ce fait, sur ce thermomètre, la distinction entre les températures positives et les températures négatives devient évidentes. | Les élèves avec plus ou moins d’aide trouvent un certain nombre d’exemples : compte en banque, étages et sous-sols, dates, altitude, … | ||
Temps 3 Synthèse | 15 min | L’enseignant conclut avec les élèves :
L’enseignant explique que comme les nombres positifs qu’ils connaissent déjà, les nombres relatifs peuvent être placés sur une droite graduée. Une droite graduée est une droite sur laquelle on fixe :
Sur une droite graduée, chaque point de la droite est repéré par un nombre entier relatif appelé abscisse du point et également à chaque nombre entier relatif correspond à un point de la droite. L’origine étant 0, les nombres après 0 sont positifs et les nombres situés avant sont négatifs. | Les élèves répondent aux questions de l’enseignant et prennent note. |
Temps 4 Exercices | 15 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter individuellement les exercices du document 1. Il circule dans la classe afin d’aider les élèves ayant besoin. | Les élèves traitent individuellement les exercices et font appel au professeur s’ils en ont besoin. |
Production attendue
Leçon et exercices du document 1.
Trace écrite pour l’élève
Les nombres entiers positifs sont des nombres supérieurs ou égaux à 0. Un nombre entier positif s’écrit avec un signe \(+\) ou sans signe.
Les nombres entiers négatifs sont des nombres inférieurs ou égaux à 0. Un nombre entier strictement négatif s’écrit avec un signe \(-\).
Les nombres entiers relatifs sont constitués par les nombres entiers positifs et par les nombres entiers négatifs.
Le seul nombre à la fois positif et négatif est \(0\).
Comme les nombres positifs qu’ils connaissent déjà, les nombres relatifs peuvent être placés sur une droite graduée.
Une droite graduée est une droite sur laquelle on fixe :
Un point appelé origine de la droite
Un sens
Une unité de longueur que l’on reporte régulièrement de part et d’autre de l’origine.
Sur une droite graduée, chaque point de la droite est repéré par un nombre entier relatif appelé abscisse du point et également à chaque nombre entier relatif correspond à un point de la droite.
Évaluation et régulation
Au cours de cette séance, l’enseignant s’occupe des groupes à besoins particuliers de temps à autre pour leur permettre d’entrer dans chaque activité, puis ils les laissent travailler en autonomie.
Éléments de remédiation
Pour faciliter un petit groupe de la classe qui présente une difficulté d’apprentissage, l’enseignant peut avoir recours au tutorat qui est un type de remédiation fortement conseillé.
Séance 2. Comparaison des nombres entiers relatifs⚓
Supports et matériel
Feuille ;
Cahier ;
Plume ;
Document élève 2.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 5 min | L’enseignant demande aux élèves s’ils se souviennent de ce qu’est un nombre relatif et fait un rappel si nécessaire. Il leur demande s’ils connaissent des dates avant JC. Est-ce qu’on peut utiliser les nombres relatifs pour donner les dates ? | Les élèves répondent aux questions de l’enseignant. |
Temps 2 Recherche | 25 min | L’enseignant invite les élèves à travailler en petits groupes sur les exercices 1 et 2 du document. Éventuellement, il peut faire travailler certains groupes sur l’exercice 1 et d’autres sur l’exercice 2. Il peut aussi demander aux élèves de traiter la question 1 de l’exercice 1 à la maison avant le cours. Après avoir laissé les élèves travailler par eux-mêmes pendant 15 à 20 minutes, l’enseignant pose quelques questions aux groupes ayant travaillé sur l’exercice 1 :
Puis il pose des questions sur l’exercice 2 (il fait remarquer que dans le cas de l’immeuble, on trace de préférence la droite graduée verticalement) :
| Les élèves sont invités à former des groupes pour répondre aux différentes questions. |
Temps 3 Synthèse | 10 min | Il explique qu’on a deux méthodes pour comparer les nombres relatifs.
Il y a un cas intéressant de comparaison, celui où l’origine de la droite est le milieu du segment. On dit que les deux nombres sont opposés. Exemples : \(-4 ;4\) et \(-11 ;11\) | Les élèves répondent aux questions de l’enseignant et prennent note de la leçon. |
Temps 4 Exercices | 20 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter les autres exercices du document 2. Il circule dans la classe afin de venir en aide aux élèves qui en ont besoin. | Les élèves traitent les exercices proposés par l’enseignant. |
Production attendue
Leçons et exercices du document élèves 2
Trace écrite pour l’élève
Trace écrite pour l’élève :
Comparaison de deux nombres
Si les nombres à comparer sont l’abscisse de points placés sur une droite graduée alors le nombre le plus grand est celui placé le plus à droite.
Sans droite graduée :
Lorsque deux nombres sont positifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus grande.
Lorsque deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite.
Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
Nombres opposés :
Si les deux nombres sont les abscisses des points sur une droite, ils sont opposés si l’origine est le milieu du segment.
Si les deux nombres sont donnés par leur valeur numérique, ils sont opposés s’ils sont donnés par la même valeur numérique avec des signes différents. Exemple : \(-4 ;4\) et \(-11 ;11\)
Évaluation et régulation
Au cours de cette séance, l’enseignant s’occupe des groupes à besoins particuliers de temps à autre pour leur permettre d’entrer dans chaque activité, puis ils les laissent travailler en autonomie.
Éléments de remédiation
Si les explications proposées ne sont pas comprises par certains élèves, l’enseignant multipliera les explications (argent, température, droite graduée, étages …).
Séance 3. Addition des nombres entiers relatifs⚓
Supports et matériel
Feuille ;
Cahier ;
Plume ;
Document élève 3.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Introduction | 5 min | L’enseignant rappelle avec les élèves ce qui a été vu durant les séances précédentes. Il explique que dans cette séance, on va apprendre à additionner des nombres relatifs ; par exemple quel est le résultat : \((-5)+(+9)= ?\) | Chaque groupe présente son travail, explique la manière dont il a procédé pour obtenir son résultat. |
Temps 2 Recherche | 30 min | L’enseignant raconte aux élèves que sa fille Rachel a joué à un jeu vidéo durant le week-end dernier. A l’issue de chaque partie, elle a gagné ou perdu un certain nombre de points. Les points qu’elle a gagnés étaient représentés par un nombre positif, tandis que les points qu’elle a perdus étaient représentés par un nombre négatif. A la fin du jeu, Rachel a soit gagné des points, soit perdu des points, soit elle n’a ni gagné, ni perdu. Il présente plusieurs cas aux élèves et leur demande de faire le bilan à chaque fois.
L’enseignant demande aux élèves de former des groupes pour cette activité. Il les laisse travailler et passe à travers les groupes pour éventuellement, les aider dans leurs réflexions ou pour répondre à leurs questions. L’enseignant invite des représentant de certains groupes à passer tour à tour devant la classe pour expliquer leur compréhension du calcul dans chaque cas, donner le résultat. Si aucun groupe ne l’a fait, il demande aux élèves ce qu’ils pensent de représenter un gain par un nombre positif, et une perte par un nombre négatif. Puis il leur demande quelle opération connue (addition ou soustraction) est utilisée pour obtenir le résultat dans les différents cas. Addition \((+5)+(+9)=14\) \((-5)+(-9)=-14\) Soustraction \((+5)+(-5)=0\) \((-5)+(+9)=4\) \((+5)+(-9)=-4\) Maintenant, l’enseignant demande aux élèves d’utiliser la droite orientée pour représenter les gains et les pertes. Que représente un gain ? Une perte ? Sur cette base, les groupes se remettent au travail. Si nécessaire, il suggère des réponses du type : « \((+5) + (-9) \): on se place sur +5 puis on recule de 9. Donc le résultat est -4 ». | Chaque groupe présente son travail, explique la manière dont il a procédé pour obtenir son résultat. L’enseignant/e ne donne pas les réponses, mais attend celles des élèves. |
Temps 3 Synthèse | 10 min | L’enseignant commence par expliquer que les notions vues aujourd’hui sont un peu difficiles, et qu’il faut bien faire attention. 1. La première chose est de comprendre le sens des opérations. Le plus efficace est d’utiliser la droite orientée :
Le nombre où tu t’arrêtes correspond à la réponse. 2. Quand on additionne
C’est un nombre négatif si distance de \(a\) à 0 est plus petite que la distance de \(b\) à 0. Exemple \((+5)+(-9)=-4\) Si ces deux distances sont égales, la somme est 0. On dit que les nombres sont opposés. Exemple \((+5)+(-5)=0\) Dans tous ces cas, le résultat est obtenu en effectuant une soustraction. | Les élèves notent la synthèse faite par l’enseignant et essaient de trouver d’autres exemples. |
Temps 4 Exercices | 10 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter individuellement les exercices du document élèves 3. Il circule dans la classe afin d’aider les élèves ayant besoin. | Les élèves traitent individuellement les exercices et font appel au professeur s’ils en ont besoin. |
Production attendue
Leçons et exercices du document élèves 3.
Trace écrite pour l’élève
Méthode de calcul :
Pour additionner deux nombres de même signe, il faut :
Garder le signe ;
Additionner les distances à zéro.
Pour additionner deux nombres de signes différents, il faut :
Garder le signe placé devant la plus grande distance à zéro ;
Soustraire les distances à zéro.
Règle pour utiliser la méthode de la droite numérique :
Tracer une droite numérique ;
Repérer le premier nombre sur la droite ;
Faire des bonds du nombre d’espaces indiqué par le deuxième nombre :
se déplacer vers la gauche si le deuxième entier relatif est positif ;
se déplacer vers la droite si le deuxième entier relatif est négatif.
Le nombre où on s’arrête correspond à la réponse
Évaluation et régulation
L’enseignant choisira des exercices et/ou des problèmes dans le manuel de l’élève pour application et approfondissement de la séance.
Éléments de remédiation
L’enseignant prendra en charge les élèves qui sont plus lents en les donnant des exercices supplémentaires. Ce serait plus intéressant de choisir ces exercices dans d’autres contextes de la vie courante.
Séance 4. Soustraction des nombres entiers relatifs⚓
Supports et matériel
Feuille ;
Cahier ;
Plume ;
Document élèves 4.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | A la dernière séance, nous avons appris à additionner des nombres relatifs. Nous avons appris à nous représenter l’addition de deux manières :
Nous avons constaté que pour additionner un nombre positif et un nombre négatif, il fallait faire une soustraction. Aujourd‘hui, nous allons apprendre à soustraire des nombres relatifs. Exemple : nous allons apprendre à quoi est égal \((+4)-(-1)\) ? Si un élève donne la bonne réponse \((+5)\) l’enseignant félicite l’élève. Mais sinon, l’enseignant ne donne pas la réponse. Il dit que cette séance est consacrée à apprendre à faire ce genre de soustraction. | Après un laps de temps de réflexion, ils lèvent la main pour répondre à la question. |
Temps 2 Recherche | 15 min | L’enseignant dit qu’on va souvent utiliser la droite numérique.
| Pour \(5-8= ?\), les élèves peuvent d’abord répondre que ce n’est pas possible. Les élèves acceptent de partir de 5 et de se déplacer de 8 vers la gauche. Ils trouvent \(-3\) |
2. L’enseignant rappelle que la soustraction est l’opération qui permet de trouver le résultat d’une addition à trous. Pour \(3+ ?=5\), réponse : \(5-3=2\). On a bien \(3+2=5\). Pour \(8+ ?=5\), réponse \(5-8=(-3)\). On a bien \(-3+8=5\). L’enseignant propose un quiz et le distribue à chaque élève. Il s’agit de choisir la bonne réponse.  L’opération qui est la plus difficile à comprendre est la 4e, sur laquelle il faut passer du temps. Sur la droite numérique, comme on soustrait le nombre négatif \(-10\), on doit se déplacer de 10 vers la droite ! | Les deux premières questions étant un rappel de la séance précédente ne poseront pas de problèmes à la plupart des élèves. | ||
3. L’enseignant/e fait compléter le tableau suivant :  et demande aux élèves ce qu’ils observent. Eventuellement, il/elle suggère de faire le lien entre soustraction et addition de l’opposé . | Pour les questions suivantes, ils pourront raisonner sur la droite orientée, ou poser l’opération à trous correspondante et s’aider des mots perte et gain vus précédemment. | ||
Temps 3 Synthèse | 15 min | L’enseignant commence par expliquer que la soustraction des nombres relatifs, comme l’addition, dont des notions assez difficiles qu’on ne va pas maîtriser en quelques minutes.
\(a-b\) c’est additionner le premier terme et l’opposé du deuxième terme \(a+(-b)\) Soustraire un nombre négatif, c’est ajouter un nombre positif, tandis que soustraire un nombre positif c’est ajouter un nombre négatif. Il résume la situation : \(-(+)=+(-)\) \(-(-)=+(+)\) Après avoir mis la soustraction sous forme d’addition, il peut utiliser d’autres méthodes comme la droite numérique, la méthode mathématique ou penser comme si on ajoutait ou enlevait des jetons pour faire l’addition. Il explique que pour alléger l’écriture, on peut supprimer les parenthèses en respectant la règle des signes :
Pour simplifier, il fait écrire :
Il explique que ces règles peuvent être retrouvées grâce au raisonnement gain/perte. L’enseignant peut continuer en prenant d’autres exemples, dépendamment du temps qu’il lui reste. Le processus de soustraction des entiers relatifs ressemble beaucoup au processus d’addition, la direction est simplement inversée. L’enseignant rappelle l’utilisation de la méthode de la droite numérique, vue précédemment. Il propose l’exemple à faire sur une droite graduée : (+4)-(-5) revient à dire, qu’est-ce que je dois ajouter à \(-5\) pour obtenir \(+4\). Dans ce cas, on fait cinq (5) pas vers la droite à 0 et quatre (4) autres pas vers la droite à . Le total des pas est \(4+5\). On obtient alors : \((+4)-(-5)=(+4)+(+5)\) | Les élèves suivent avec attention le déroulement du cours et prennent en note... Si besoin, ils posent des questions à l’enseignant. |
Temps 4 Exercices | 15 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter individuellement les exercices du document élèves 4. Il circule dans la classe afin d’aider les élèves ayant besoin. | Les élèves traitent individuellement les exercices et font appel au professeur s’ils en ont besoin. |
Production attendue
Leçon et exercices du document élèves 4.
Trace écrite pour l’élève
Méthode de calcul :
Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.
Pour soustraire deux nombres relatifs :
On garde le premier ;
On change le signe du deuxième nombre ;
On remplace la soustraction par une addition des nombres relatifs.
On a alors deux signes à changer : on change alors le signe « - » de la soustraction qui devient le signe « + » de l’addition, et le signe du nombre juste après.
Soustraire un nombre négatif, c’est ajouter un nombre positif, tandis que soustraire un nombre positif, c’est ajouter un nombre négatif.
Comprendre la soustraction :
Méthode des gains et des pertes : enlever une dette à quelqu’un, c’est lui donner de l’argent.
\(+(+)=+\)
\(+(-)=-\)
\(-(+)=-\)
\(-(-)=+\)
Méthode de la droite numérique : soustraire un nombre, c’est se déplacer sur la droite numérique en sens inverse, c’est-à-dire vers la gauche si le nombre est positif, vers la droite si le nombre est négatif.
Évaluation et régulation
L’enseignant choisira des exercices et/ou des problèmes dans le manuel de l’élève pour application et approfondissement de la séance. Il rassure les élèves sur le fait que les notions vues demandent un temps d’assimilation.
Éléments de remédiation
La compréhension des nombres peut être plus difficile pour certains élèves. L’enseignant insistera sur la mise en place de la signification des opérations avant le développement des automatismes : par exemple sur perte et gain, déplacements sur la droite numérique graduée, etc.
Séance 5. Multiplication de deux nombres entiers relatifs⚓
Supports et matériel
Feuille ;
Cahier ;
Plume ;
Document élèves 5.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | L’enseignant propose aux élèves une configuration rectangulaire ayant 8 colonnes et 6 lignes.  Il invite ses élèves à bien observer cette configuration et leur pose les questions suivantes :
Il explique que cette séance est consacrée à la multiplication des nombres entiers relatifs | Tous les élèves se mettent rapidement au travail, la question a) était à la portée de toute la salle, quant aux autres questions, une partie de la salle en trouve. Si besoin, les élèves interpellent le professeur pour poser des questions. Tous constatent que la place des nombres entiers positifs n’influence pas le résultat : \(6\times8=8\times6\). |
Temps 2 Recherche | 20 min | L’enseignant demande aux élèves d’écrire le produit \(6\times(-7)\) sous forme de somme et d’en déduire le résultat. De la même façon, il demande aux élèves d’écrire le produit \((-6)\times(+7)\) sous la forme d’un autre produit, puis de l’écrire sous forme de somme et d’en déduire le résultat. Par la suite, l’enseignant demande aux élèves d’en déduire le résultat de \((-1)\times(+6)\). Il les incite alors à trouver une règle pour multiplier deux nombres relatifs de signes différents. À cette phase, l’enseignant aborde la partie la plus difficile de la séance, le produit de deux nombres entiers négatifs. Ainsi par groupe de 3, il incite toute la salle à :
| Avec plus ou moins d’aide les élèves seront capables de trouver : \(6\times(-7)\) \(=(-7)+(-7)+(-7)+(-7)+(-7)+(-7)\) \(=-42\) Ils en concluent que : \(6\times(-7)=-42\) En leur rappelant la commutativité, ils trouvent : \((-6)\times(+7)\) \(=(+7)\times(-6)\) \(=(-6)+(-6)+(-6)+(-6)+(-6)+(-6)\) \(=-42\) Ils en concluent donc que \((+6)\times(-7)=(-6)\times(+7)=-42\) Soit par logique soit en repassant par la somme, les élèves sauront trouver : \((-1)\times(+6)=-6\) Dans une ambiance participative, les apprenants comprennent rapidement le produit de deux nombres entiers relatifs de signes contraires. Si la première partie de recherche a bien été comprise, l’ensemble des élèves devrait être en mesure de trouver que \((-4)\times5=20\) Si besoin, l’enseignant/e rappelle le principe de factorisation aux élèves. Il y aura sûrement besoin de guider les élèves pour la relation : \((-4)\times5+(-4)\times(-5)=0\) \(-20+(-4)\times(-5)=0\) \((-4)\times(-5)=20\) Pour le produits de deux nombres entiers relatifs négatifs, le coaching de l'enseignant est utile pour que les élèves puissent comprendre tout. |
Temps 3 Synthèse | 10 min | L’enseignant récapitule avec les élèves les règles découvertes :
Il le résume la situation :
Il explique la méthode à suivre pour multiplier deux nombres relatifs :
L’enseignant fait alors remarquer que si un produit présente plusieurs facteurs, il suffit de compter le nombre de facteurs négatifs pour identifier si le produit est positif ou négatif :
| Les élèves répondent aux questions de l’enseignant/e et prennent note de la synthèse. Si besoin, ils interpellent le professeur pour poser des questions. |
Temps 4 Exercices | 15 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter individuellement les exercices du document 5. Il circule dans la classe afin d’aider les élèves ayant besoin. | Les élèves traitent individuellement les exercices et font appel au professeur s’ils en ont besoin. |
Production attendue
Leçon et exercices du document élèves 5.
Trace écrite pour l’élève
La règle des signes
Si deux nombres entiers relatifs sont de même signe, alors leur produit est positif.
\(a > 0\) et \(b > 0\) : \(a × b > 0\)
\(a < 0\) et \(b < 0\) : \(a × b > 0\)
Si deux nombres entiers relatifs sont de signes contraires, alors leur produit est négatif.
\(a > 0\) et \(b < 0\) :\( a × b < 0\)
\(a < 0\) et \(b > 0\) :\( a × b < 0\)
Règle simplifiée :
\(+\times + = +\)
\(-\times + = -\)
\(+\times - = -\)
\(-\times - = +\)
Le calcul du produit
On applique la règle des signes ;
On multiplie les distances à zéro.
Le signe du produit de plusieurs nombres relatifs
Si un produit compte un nombre pair de nombres entiers relatifs négatifs, alors le produit est positif ;
Si un produit compte un nombre impair de nombres entiers relatifs négatifs, alors le produit est négatif.
Éléments de remédiation
Les nombres entiers relatifs négatifs abordés en 8e année fondamentale pour la première fois posent des difficultés spécifiques à certains élèves. Pour installer les compétences visées dans la séance et pour donner à toute la salle la même chance égalitaire de réussite, l’enseignant vise à faire une remédiation le plus tôt possible.
Séance 6. Calcul d’une expression mixte⚓
Supports et matériel
Feuille ;
Cahier ;
Plume ;
Document élèves 6.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | L’enseignant rappelle avec les élèves les différentes notions vues précédemment. Puis ils demandent aux élèves de faire au brouillon les calculs suivants :
| Les élèves répondent aux questions de l’enseignant. Ils tentent de faire les calculs en se rappelant des règles de priorité travaillées plus tôt dans l’année. |
Si besoin l’enseignant rappelle les règles de priorité. Il explique ces règles de priorité s’applique aussi aux nombres relatifs. | Si besoin, ils prennent en note dans leur cahier. | ||
Temps 2 Exercices | 35 min | L’enseignant explique que dans cette séance, il n’y aura pas de cours, mais seulement des exercices pour s’entraîner. Il circule dans la classe afin de venir en aide aux élèves en ayant besoin. | Les élèves travaillent seuls ou en groupe. Si besoin, ils appellent le professeur pour obtenir de l’aide. |
Production attendue
Exercices du document élèves 6
Trace écrite pour l’élève
Règles de priorité :
Dans une expression, on calcule d’abord :
Les puissances
Les parenthèses
Les multiplications et divisions
Les additions et les soustractions
Évaluation et régulation
Au cours de cette séance, l’enseignant/e s’occupe des groupes à besoins particuliers de temps à autre pour leur permettre d’entrer dans chaque activité, puis ils les laissent travailler en autonomie.
Éléments de remédiation
Pour faciliter un petit groupe de la classe qui présente une difficulté d’apprentissage, l’enseignant peut avoir recours au tutorat qui est un type de remédiation fortement conseillé.
Séance 7. Évaluation sommative⚓
Supports et matériel
Feuille ;
Plume ;
Document élève 7.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Introduction | 5 min | L’enseignant explique qu’aujourd’hui les élèves vont être évalués. Il revient rapidement sur ce qui a été vu durant la séquence. | Les élèves écoutent les rappels du professeur et regarde rapidement leur cours si nécessaire. |
Temps 2 Evaluation sommative | 50 min | L’enseignant distribue les sujets et demande aux élèves de traiter les exercices individuellement. L’objectif de cette évaluation est de mesurer le niveau d’acquisition des élèves afin notamment de remédier aux difficultés éventuelles avant le passage dans la classe supérieure. L’évaluation portera sur les fondamentaux vus en classe :
Après la correction des copies l’enseignant pourra proposer une correction adaptée en fonction des erreurs analysées dans les productions d’élèves. Il pourra aussi mettre en place des exercices de remédiation pour les élèves en difficultés et leur permettre de passer une évaluation de rattrapage. | Les élèves travaillent individuellement. |
Evaluation et régulation
Au cours de cette séance, l’enseignant s’occupe des groupes à besoins particuliers.
Il est conseillé pour ce type d’évaluation d’interdire l’usage de la calculatrice à l’ensemble de la classe. Pour les élèves à besoins particuliers, l’enseignant peut éventuellement prévoir un sujet comportant des calculs plus simples et fournir des tables de calcul (addition, soustraction, multiplication).
Eléments de remédiation
L’enseignant proposera une correction après le rendu des copies. Il peut éventuellement proposer des exercices de remédiation et une évaluation de rattrapage.