La proportionnalité est une notion centrale du programme de mathématiques de l’enseignement fondamental. Intégrée dans l’unité d’apprentissage « Organisation et le traitement des données », elle a des implications dans tous les domaines des mathématiques, et bien au-delà, dans d’autres champs disciplinaires, dans la vie quotidienne et dans la vie professionnelle. Les élèves l’ayant déjà rencontrée en 7e année, ils doivent accéder en 8e année à une certaine maîtrise de la notion.
Dans le cadre de cette séquence, on commence par présenter les tableaux de proportionnalité, qui permettent d’identifier ou de résumer une situation de proportionnalité. On introduit différentes procédures permettant de vérifier des situations de proportionnalité ou d’appliquer la proportionnalité pour déterminer de valeurs manquantes, et on montre l’utilité de la notion de pourcentage. Des situations variées d’application sont présentées, notamment la notion d’échelle.
Proportionnalité et applications⚓
Présentation de la séquence et documents à télécharger⚓
Compétence(s) ciblée(s)
M1a : comprendre des nombres et de leurs représentations ;
M1b : maîtriser le calcul sur les nombres, ce qui inclut la compréhension du sens des opérations, une pratique efficace des techniques et algorithmes de calcul avec ou sans l’utilisation d’instruments électroniques ;
M3b : interpréter, représenter et traiter des données ;
M3c : modéliser en sciences expérimentales, en sciences sociales et en technologie ;
M3d : utiliser le langage des mathématiques pour communiquer, former, informer, comprendre et se faire comprendre.
Savoirs, savoir-faire, savoir-être/attitudes à acquérir
Reconnaître, utiliser manipuler une situation ou un tableau de proportionnalité ;
Calculer et utiliser un pourcentage ;
Calculer et utiliser l’échelle d’un plan, une carte ou un dessin.
Prérequis
Egalité de deux fractions, produit en croix, règle de trois, nombres décimaux, taux et pourcentage.
Graphique représentant des données.
Stratégie d’enseignement-apprentissage
Utilisés dans des situations contextualisées, en statistique, mathématiques financières, d’économie appliquée et dans d’autres champs disciplinaires tels géographie, cartographie, EPS, sciences appliquées, nouvelles technologies et des situations réelles de tous les jours, la proportionnalité et ses applications nous permettent d’appréhender les connaissances, renforcer les apprentissages et les savoir-faire mathématiques.
Afin de favoriser le développement des compétences telles que chercher, mobiliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer etc., l’enseignant propose de :
Lire et concevoir des tableaux de proportionnalité.
Confronter l’élève à des situations de non-proportionnalités.
Mettre l’élève dans des situations de reconnaissance de propriétés liées à la proportionnalité (utilisation et calcul d’une échelle, d’un pourcentage…)
Permettre à l’élève de dégager des avantages et inconvénients des différentes procédures afin de constater l’efficacité de l’une par rapport aux autres
Donner l’habitude à l’élève de changer de procédures afin de choisir celle la plus efficace.
Découpage en séances
Séance | Thème, place dans la séquence et très brève description |
Séance 1 Tableau de proportionnalité | Reconnaître une situation de proportionnalité en utilisant un tableau de proportionnalité |
Séance 2 Produit en croix ; coefficient de proportionnalité | Déterminer une quatrième proportionnelle, compléter, étudier et utiliser une situation de proportionnalité, utiliser des produits en croix ou coefficient de proportionnalité |
Séance 3 Représentation graphique d’un tableau de proportionnalité | Caractériser, interpréter, lire et utiliser une représentation graphique et une situation de proportionnalité |
Séance 4 Proportionnalité et pourcentages | Lire, utiliser, déterminer, interpréter et prendre un pourcentage |
Séance 5 Application de la proportionnalité à la notion d’échelle | Utiliser et interpréter le coefficient de proportionnalité et l’échelle d’une carte, d’une figure ou d’un plan |
Séance 6 Évaluation sommative | Le but de cette séance est de mesurer le niveau d’acquisition de l’ensemble des fondamentaux travaillés au cours de la séquence. |
Support et matériel
Fiches d’activités, papier quadrillé ou millimétré, crayon noir ou plume, calculatrice simple, règle graduée, tableur.
Modalités d’évaluation
Évaluation initiale (diagnostique) :
L’enseignant fait faire quelques exercices sur les prérequis.
Évaluation finale (bilan) et critères/indicateurs de réussite :
Évaluation en classe, individuelle et personnelle sur les savoir-faire de la séquence : lecture, extraction des informations, calculs liés à un tableau proportionnalité ; pourcentages, échelle. Dans l’appréciation et la notation de l’évaluation finale, l’enseignant/e veillera à distinguer la compréhension conceptuelle et la capacité à faire les calculs correctement.
Prolongements éventuels
Lien entre la proportionnalité et la géométrie (agrandissement et réduction ; triangles semblables) qui seront étudiés en 9e AF.
Différenciation et adaptation aux élèves à besoins éducatifs particuliers
Rester après la fin de tous les cours de la journée, pour être aidé à se mettre à niveau par un enseignant.
Séance 1. Tableau de proportionnalité⚓
Supports et matériel
Règle ;
Calculatrice simple ;
Plume ;
Crayon ;
Document 1.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 15 min | L’enseignant explique : « dans cette séquence, on va étudier la notion de proportionnalité, et les pourcentages et l’échelle d’une figure comme deux de ses applications. Ce sont des notions que vous avez déjà rencontrées. Aujourd’hui, on va apprendre à reconnaître une situation de proportionnalité ou un tableau de proportionnalité. » Afin d’introduire la séquence, l’enseignant propose un exemple : Si un bonbon vaut 100 gourdes, combien valent 2 bonbons ? 5 bonbons ? 20 bonbons ? Il leur demande d’utiliser un tableau pour présenter leurs résultats Il explique aux élèves qu’ils ont pu répondre aux questions posées, car le prix payé est proportionnel au nombre de bonbons. On parle de séries de données proportionnelles, ou de grandeurs ou de quantités proportionnelles. Il pose les questions suivantes :
| Les élèves placent leurs résultats dans un tableau :  tableau Certains répondent que c’est le prix par bonbon, soit 100. |
Temps 2 Recherches | 20 min | L’enseignant demande aux élèves de se mettre en petits groupes de deux, trois ou par banc pour trouver un exemple de grandeurs proportionnelles puis d’autres non proportionnelles. Il peut suggérer des pistes, mais attend que des idées émergent. L’enseignant distribue le document 1 et demande aux élèves de se regrouper en binôme, en trio ou par banc pour traiter l’exercice 1 L’enseignant conclut, avec les élèves, qu’on est dans une situation de non-proportionnalité dans le premier tableau et de proportionnalité dans le second. | Exemples d’idées des élèves :
Les élèves calculent le quotient des nombres en ligne, puis en colonne dans chacun des deux tableaux. Ils constatent que dans le premier tableau les rapports des nombres pris deux à deux sont différents en ligne et en colonne. Mais ils sont égaux en ligne et en colonne dans le second tableau. |
Temps 3 Cours | 10 min | L’enseignant définit avec les élèves : Grandeurs proportionnelles : Dans une série, des grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant ou en divisant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul. Ce nombre s’appelle coefficient de proportionnalité. Tableau de proportionnalité : Un tableau de proportionnalité, c’est un tableau à deux lignes dans lequel les nombres de la deuxième ligne sont obtenus en multipliant les nombres de la première ligne par un nombre unique, le coefficient de proportionnalité. Reconnaitre un tableau de proportionnalité : Pour reconnaître un tableau de proportionnalité
| Les élèves prennent des notes. |
Temps 4 Exercices d’activités et d’entraînement | 10 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter les exercices 2 et 3 du document 1. Pour les élèves qui sont en difficulté, l’enseignant peut leur donner une indication sur la manière de procéder. S’il y a le temps, l’enseignant demande aux élèves de traiter l’exercice 3, qui a l’avantage d’être amusant. Il donne l’exercice 4 en totalité ou en partie comme devoir maison. |
Production attendue
Ecrits personnel et individuel dans le traitement de l’exercice 2.
Trace écrite pour l'élève
Grandeurs proportionnelles :
Dans une série, deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant ou divisant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Tableau de proportionnalité :
Un tableau de proportionnalité, c’est un tableau à deux lignes dans lequel les nombres de la deuxième ligne sont obtenus en multipliant les nombres de la première ligne par un nombre unique.
Reconnaissance d’une situation ou d’un tableau de proportionnalité :
Pour reconnaître un tableau de proportionnalité
On calcule chacun des quotients d’un nombre de la première ligne du tableau par le nombre correspondant de la deuxième ligne.
On regarde si tous les quotients calculés sont égaux ou non.
Si les quotients sont tous égaux à un même nombre non nul, alors on dit qu’on a une situation de proportionnalité.
Reconnaitre qu’un tableau de valeurs est un tableau de proportionnalité revient à dire que le passage de la première à la deuxième ligne s’effectue en multipliant par le même nombre. Ce nombre s’appelle : coefficient de proportionnalité.
Remarques :
La situation présentée dans un tableau de proportionnalité est une situation de proportionnalité.
Dans un tableau, les nombres de la première ligne sont proportionnels à ceux de la deuxième ligne.
Le quotient commun qu’on a calculé dans un tableau est appelé coefficient de proportionnalité.
Évaluation et régulation
Devoir maison.
Éléments de remédiation
En se basant sur l’évaluation formative de fin de séance, l’enseignant peut différencier les activités demandées aux élèves. Il peut faire aider des élèves en difficulté par un camarade de classe ou un enseignant suppléant ayant la compétence en la matière.
Séance 2. Produits en croix ; coefficient de proportionnalité⚓
Supports et matériel
Règle ;
Calculatrice simple ;
Plume ;
Crayon ;
Document 2
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | L’enseignant demande aux élèves de se rappeler les notions travaillées pendant la première séance :
L’enseignant s’assure que les notions sont bien comprises. L’enseignant demande aux élèves de lui explique ce qu’est le produit en croix pour l’égalité de deux fractions ou pour l’égalité de deux quotients. Il précise la question : pouvez-vous vérifier l’égalité \(\frac{16}{10}=\frac{11,2}{7}\) sans faire de division ? L’enseignant explique que dans la séance d’aujourd’hui on va rappeler ce qu’est le coefficient de proportionnalité, et apprendre à compléter un tableau en utilisant les produits en croix, le coefficient de proportionnalité ou la règle de 3. | Les élèves rendent le devoir donné à la séance précédente et fait à la maison. Puis ils essaient de répondre aux questions de l’enseignant ; éventuellement ils s’entraident ou discutent entre eux. Les élèves devraient connaître la vérification par le « produit en croix » \(16\times7=11,2\times10=112\) |
Temps 2 Recherches | 15 min | L’enseignant distribue le document 2 aux élèves et leur demande de se regrouper en binôme, trois ou quatre par banc pour résoudre les trois premières questions de l’exercice 1. L’enseignant leur demande de répondre à la question 4. Il leur demande pourquoi il les a fait calculer les produits en croix. L’enseignant confirme on peut conclure que \(\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\) si \(a\times d = b \times c\) et que \(\frac{a}{b}\neq \frac{c}{a}\) si \(a \times d \neq b \times c\) L’enseignant répond que calculer le produit en croix est une autre manière de reconnaître une situation de proportionnalité. On n’a pas besoin de faire les deux méthodes. | Les élèves reçoivent le document 2 et se mettent en petits groupes selon le vœu de l’enseignant. Les élèves calculent les quotients des nombres en ligne, dans chacun des deux tableaux. Ils constatent que dans le premier tableau les rapports des nombres pris deux à deux sont différents. Mais ils sont égaux dans le second tableau. Les produits en croix sont différents dans le premier tableau mais égaux dans le second. Les élèves répondent que le tableau 1 n’est pas un tableau de proportionnalité parce que les quotients ne sont pas les mêmes, alors que le tableau 2 est un tableau de proportionnalité. Certains élèves répondent que calculer le produit en croix pour les fractions \(\frac{a}{b},\frac{c}{a}\) c'est-à-dire calculer les produits \(a\times d\) et \(b\times c\) et les comparer est une manière de vérifier si les quotients sont égaux. Mais ils se demandent s’il faut toujours faire les deux calculs. |
Temps 3 Cours | 15 min | L’enseignant explique que pour vérifier qu’un tableau est un tableau de proportionnalité, on a le choix entre deux méthodes :
L’avantage de la première méthode est qu’on obtient le coefficient de proportionnalité. L’avantage du produit en croix est qu’il n’y a pas de divisions à faire. Le coefficient de proportionnalité peut être utilisé pour compléter un tableau de proportionnalité. Le produit en croix permet de calculer une donnée manquante (appelée « quatrième proportionnelle ») d’un tableau de proportionnalité. Une autre méthode déjà apprise est la règle de trois. Elle donne une procédure simple pour calculer une quatrième proportionnelle, par exemple pour calculer le prix d’un lot de plusieurs objets identiques | Les élèves prennent des notes et posent des questions. |
Temps 4 Evaluation formative | 15 min | L’enseignant demande aux élèves de traiter les exercices 2 et 3. Au choix de l’enseignant, les élèves peuvent utiliser une calculatrice électronique simple. L’enseignant supervise le travail des élèves tout en apportant des aides supplémentaires à ceux qui n’arrivent pas encore à faire correctement ce que demande l’enseignant. L’enseignant donne des exercices parmi ceux du document 2 à faire comme devoir de maison. | Chaque élève calcule les inconnues des différents tableaux des exercices 2 et 3. Puis il complète chacun des tableaux. Les élèves notent dans leur cahier les exercices 4 à 7 du devoir de maison. |
Production attendue
Productions individuelles dans le traitement de l’exercice 2 et 3.
Trace écrite pour l'élève : Lorsqu’on étudie deux séries de données.
Coefficient de proportionnalité
Définition : C’est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première série pour obtenir celles de la seconde.
Utilisation du coefficient de proportionnalité pour compléter un tableau de proportionnalité :
On identifie une colonne où les deux nombres sont connus, puis on calcule le quotient du nombre sur la 2ème ligne par celui sur la 1ère. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité.
Dans une autre colonne, pour trouver la valeur de la deuxième ligne, on multiplie l’élément correspondant de la première ligne par le coefficient de proportionnalité.
Dans une autre colonne, pour trouver la valeur de la première ligne, on divise l’élément correspondant de la deuxième ligne par le coefficient de proportionnalité.
2. Produit en croix
A | c |
B | d |
Propriété : Si c’est un tableau de proportionnalité alors \(a\times d= b\times c\) .
Réciproque : Si \(a \times d=b \times c\) alors c'est un tableau de proportionnalité.
Lorsqu’on a affaire à un tableau avec plusieurs colonnes, pour vérifier la situation de proportionnalité, on doit faire les produits en croix de la première colonne avec toutes les autres.
Remarque. La technique du produit en croix permet de vérifier facilement la proportionnalité, mais ne permet pas de calculer le coefficient.
3. Calculer une quatrième proportionnelle :
Pour calculer une quatrième proportion \(X\) du tableau de \(\frac{a}{b}\frac{x}{c}\) proportionnalité
On fait les produits en v=croix égaux et on \(b\times x=a \times c\)
On détermine le nombre \(x\) par la formule \(x=\frac{a\times c}{b}\).
Ainsi, on a le tableau de proportionnalité suivant.
a
\(\frac{a\times c}{b}\)
b
c
4. Règle de trois
Si dans le tableau à droite, \(b\) est un entier, et \(a\)représente une grandeur (prix, poids…) pour \(b\) objets, et qu’on cherche la grandeur x pour c objets, on peut faire le raisonnement suivant (règle de trois) : la grandeur pour \(b\) unités est \(a\), donc la grandeur pour une unité est \(\frac{a}{b}\) et donc pour \(c\) unités c'est \(\frac{a}{b}\frac{x}{c}\)\(\frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\)
5. Suites proportionnelles
Quand on a deux séries de données qui sont proportionnelles, on dit parfois « suites proportionnelles ». Exemple : les suites \(x_1\), \(x_2\),\(x_3\),\(x_4\),.......,\(x_{n-1}\),\(x_n\) et \(y_1\),\(y_2\),\(y_3\),.......,\(y_{n-1}\),\(y_n\) sont proportionnelles s'il existe un unique nombre non nul \(k\) tel \(x_i=ky_i\) pour tout \(i=1\),\(2\),\(3\),.....,\(n\).
Évaluation et régulation
Devoir maison.
Éléments de remédiation
Pour les élèves en difficulté, l’enseignant leur conseillera de se limiter à comprendre le coefficient de proportionnalité et la règle de 3.
Séance 3. Représentation graphique d’un tableau de proportionnalité⚓
Supports et matériel
Règle graduée ;
Feuille de papier quadrillé ;
Calculatrice simple ;
Plume ;
Crayon ;
Document 3.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | L’enseignant rappelle avec les élèves ce qui a été fait dans la première et deuxième séance. Pour cela, il leur demande quelles sont les méthodes pour vérifier si un tableau est un tableau de proportionnalité ou pas ? Il explique que dans la séance d’aujourd’hui, on va apprendre à utiliser, lire et interpréter la représentation graphique d’une situation de proportionnalité et caractériser le graphique d’un tableau de proportionnalité. | Les élèves essaient de répondre à la question :
|
Temps 2 Recherches | 20 min | L’enseignant distribue le document 3. Puis, il demande aux élèves de se regrouper en binôme, par trois ou par banc pour traiter l’exercice 1. La représentation de données par un graphique ou une courbe a été vue en 7ème AF. Néanmoins les élèves ont probablement besoin d’être guidés. (Si la séquence sur les coordonnées cartésiennes é déjà été vue, l’enseignant peut formuler l’exercice en termes de points donnés par leur abscisse et leur ordonnée.) L’enseignant peut leur suggérer d’utiliser une règle. | Les élèves se mettent en petits groupes. Les élèves calculent les quotients des nombres dans chacun des tableaux. Ils constatent que le premier tableau est un tableau de proportionnalité et le deuxième ne l’est pas. Ce qui est souhaité est que les élèves constatent par eux-mêmes que les points sont tous sur une droite passant par l’origine dans le premier cas et pas dans le second. |
Temps 3 Cours | 10 min | L’enseignant demande s’ils ont observé quelque chose de particulier pour la représentation graphique. L’enseignant dit aux élèves : Dans un tableau de proportionnalité, les points du graphique qui les représente sont sur une ligne droite passant par l’origine. Si le tableau n’est pas une situation de proportionnalité, les points ne sont pas alignés avec l’origine. L’enseignant demande aux élèves de vérifier cette propriété sur les graphiques qu’ils sont faits auparavant. | Les élèves prennent des notes. |
Temps 4 Évaluation formative | 15 min | Le document 3 étant distribué, l’enseignant demande aux élèves de prendre une feuille de papier quadrillée, calculatrice simple et un crayon ou une plume. Puis il leur demande de traiter l’exercice 2. L’enseignant supervise le travail des élèves tout en apportant des aides supplémentaires aux élèves qui n’arrivent pas encore à faire correctement ce qui est demandé. L’enseignant donne des exercices parmi ceux du document 3 à faire comme devoir de maison. | Les élèves prennent des dispositions pour rédiger l’exercice 2 du document 3. |
Production attendue
Écrits personnel et individuel dans le traitement de l’exercice 2.
Trace écrite pour l’élève :
Version 1 : si les coordonnées cartésiennes n’ont pas encore été vues.
Représentation graphique :
Les points de la représentation graphique d’une situation de proportionnalité sont sur une ligne droite passant par l’origine. Si le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité, les points ne sont pas alignés.
Version 2 : avec l’utilisation des coordonnées
Représentation graphique :
Dans un plan cartésien muni d’un repère orthonormé, on trace les points dont l’abscisse est la donnée de la première ligne du tableau, et l’ordonnée est sur la deuxième ligne. Si le tableau est de proportionnalité les points sont alignés. Si le tableau n’est pas de proportionnalité, les points ne sont pas alignés.
L’avantage est qu’on a une représentation visuelle de la proportionnalité.
Évaluation et régulation
Devoir maison
Éléments de remédiation
Les élèves qui n’arrivent pas à satisfaire à l’objectif de la séance seront aidés par un camarade de classe ou un enseignant.
Séance 4. Proportionnalité et pourcentages⚓
Supports et matériel
Règle ;
Calculatrice simple ;
Plume ;
Crayon ;
Document 4.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | Ce que fait l’enseignant : Il rappelle que nous avons appris à caractériser une situation de proportionnalité. Pour vérifier la proportionnalité, on doit faire des divisions qui peuvent être compliquées. Comme on va le voir dans cette séance, les pourcentages, que nous avons déjà vus, permettent de simplifier les calculs. Par exemple, en Haïti, beaucoup de taxes (comme la TVA) sont proportionnelles au prix et sont exprimées en pourcentage. Il demande aux élèves ce que signifient les écritures 10%, 20%, 50% vues en 7e AF. Il pose la question : « Supposons que dans une école de 300 élèves, 60% sont boursiers. Combien y a-t-il de boursiers dans cette école ? » Ils peuvent le faire sans raisonnement de quatrième proportionnelle : 60 élèves sur 100 sont boursiers, donc pour 300 élèves, il y a \(3 \times 60\) boursiers. | Ce que font les élèves : Ils essaient de se rappeler les notions vues précédemment et si nécessaire ils relisent leur cours. Avec un peu d’aide, les élèves répondent que c’est une manière décrire les fractions \(\frac{10}{100}\), \(\frac{20}{100}\), \(\frac{50}{100}\), etc. Les élèves essaient de répondre à la question |
Temps 2 Recherches | 20 min | L’enseignant distribue le document 4 et demande aux élèves de se mettre en binôme, en groupe de trois ou par banc pour traiter l’exercice 1, qui reprend la situation qui a été discutée dans le temps de découverte. Puis il demande aux élèves de passer à l’exercice 2. Une fois calculé \(x\) l’enseignant peut être amené à pousser les élèves à passer de \(x\) pour 100 élèves à \(x%\), puis à les encourager dans la résolution de la question 4. | Les élèves se mettent en petits groupes selon le vœu de l’enseignant pour traiter les exercices 1 et 2 du document 4. Le calcul de \(x\) ne doit pas poser de problèmes, ni celui du coefficient de proportionnalité. |
Temps 3 Cours | 10 min | L’enseignant demande aux élèves de présenter leurs résultats, puis reprend le dernier point :
L’enseignant explique qu’un pourcentage p est un nombre positif noté \(p %\) qui est une écriture abrégée pour le quotient \(\frac{p}{100}\) et se lit « p pourcent ». Il est commode d’exprimer un coefficient de proportionnalité sous forme d’un pourcentage. Quand on a un tableau de proportionnalité avec un coefficient \(k = \frac{a}{b}\) on calcule \(k\) sous forme de pourcentage, il faut faire la division \(\frac{a \times 100}{b}\). Si on a une proportionnalité sous forme d’un pourcentage p%, pour calculer x dans un tableau de proportionnalité :  Il suffit de multiplier \(d\) par \(p\) et diviser par \(100\). | |
Temps 4 Exercices d’activités et d’entrainement | 15 min | Le document 4 étant distribué, l’enseignant demande aux élèves de prendre une feuille papier, calculatrice simple et un crayon ou une plume. Puis il leur demande de former des petits groupes de 2 ou 3 ou par banc pour rédiger les exercices 3 à 5. L’enseignant supervise le travail des élèves tout en apportant des aides supplémentaires aux groupes d’élèves qui n’arrivent pas encore à faire correctement ce qu’il leur demande. L’enseignant donne d’autres exercices du document 4 comme devoir de maison. | Les élèves prennent des dispositions pour rédiger les exercices 3 à 5 du document 4. Les élèves qui n’arrivent pas à faire correctement les exercices, demandent de l’aide de son enseignant. |
Production attendue
Ecrits personnel et individuel pour les exercices du devoir de maison.
Trace écrite pour l'élève
Définition :
Le pourcentage \(p\) est un nombre positif note « \(p %\) » qui se lit « \(p\) pourcent ».
On exprime souvent un coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage.
Calculer un pourcentage :
Méthode 1 : La proportion en pourcentage d’une partie \(a\) par rapport à une quantité totale \(b\) est donnée par la formule suivante : Pourcentage \(p = \frac{a}{b} \times 100\).
Méthode 2 : On considère le tableau de proportionnalité suivant :
Partie \(a\) | \(p\) |
Total \(b\) | \(100\) |
Si on connaît la partie \(a\) et le total \(b\), alors la partie est donnée par \(p = \frac{a \times 100}{b}\)
Appliquer un pourcentage :
Prendre le pourcentage \(p %\) d’une quantité donnée, revient à multiplier cette quantité par \(p\) et diviser par \(100\).
Méthode 1 : \(p %\) de la quantité \(b\) est donné par la formule suivante : \(\frac{p}{100}\times b = \frac{p \times b}{100}\)
Méthode 2 : On considère le tableau de proportionnalité suivant :
Partie \(a\) | \(p\) |
Total \(b\) | \(100\) |
\(a = \frac{p \times b}{100}\)
Évaluation et régulation
Devoir maison
Éléments de remédiation
Le document 4 inclut plusieurs exercices supplémentaires simples sur lesquels les élèves qui n’arrivent pas à satisfaire à l’objectif de la séance peuvent travailler.
Séance 5. Application de la proportionnalité à la notion d’échelle⚓
Supports
Règle ;
Calculatrice simple ;
Plume ;
Crayon ;
Document 6.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 10 min | L’enseignant explique que dans la séance d’aujourd’hui on va appliquer la notion de proportionnalité pour comprendre l’échelle d’un plan, d’une carte ou une figure. L’enseignant pose aux élèves, les questions suivantes :
Puis il explique que dans cette leçon on va montrer que l’échelle est une application de la notion de proportion, et qu’on va apprendre comment calculer les distances et longueurs réelles à partir d’une carte, d’un plan ou d’un schéma. | Ils essaient de se rappeler des notions vues précédemment et si nécessaire ils relisent leur cours. Les élèves essaient de répondre aux questions.
|
Temps 2 Recherche | 20 min | L’enseignant distribue le document 5 et demande aux élèves de se mettre en binôme, en groupe de trois ou par banc pour traiter l’exercice 1. L’enseignant attend le plus possible pour voir si les élèves parlent de proportionnalité. Si nécessaire, il les guide vers l’application de la proportionnalité. On trouve \(x=5,4\) km et\( y= 2\) km. L’enseignant explique que l’échelle est le rapport entre la distance réelle et la distance sur la carte : 1 cm sur la carte correspond à 2 km. Mais attention ! Pour calculer l’échelle, il faut exprimer les distances dans les mêmes unités : \(2\) km = \(200 000 \)cm. L’échelle est \(\frac{1}{200 000}\). | Les élèves se mettent en petits groupes selon le vœu de l’enseignant et commencent à travailler sur l’exercice 1. Ils sont peut-être surpris, parce qu’on ne leur dit pas quoi faire. Pour la question a, les élèves mettent en place le tableau de proportionnalité : \({x}\) (en km) - \(2,7\) (en cm) \({35}\) (en km) - \(17,5\) (en cm) __ Pour la question b, le tableau est : \({y}\) (en km) - \(1\) (en cm) \({35}\) (en km) - \(17,5\) (en cm) |
Temps 3 Cours | 10 min | L’enseignant dit aux élèves : Une figure (plan/carte/schéma) d’une situation réelle est, si possible réalisé en sorte que les longueurs de la figure soient proportionnelles aux longueurs réelles. On dit que la figure est à l’échelle. L’échelle e de la figure est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur la carte et les longueurs réelles : la longueur \(l_c \)sur la carte est obtenue à partir de la distance réelle \(l_c\) par la formule \(l_{c}=e\times l_r\). On peut représenter ceci par le tableau de proportionnalité :  Dans le cas d’une carte ou d’un plan, on écrit souvent par commodité l’échelle sous forme \(e = \frac{1}{a}\). Par exemple, pour une carte géographique à l’échelle \(1/100000\), 1 cm représente 100 000 cm = 1 km. Sur un plan au \(1/100\), 1 cm représente 1 m. Pour un schéma en SVT l’échelle est supérieure à 1. Sur un schéma à l’échelle \(500\), 1 cm représente 0,2 mm.  Remarques :
| Les élèves prennent des notes de l’enseignant·e.\((\frac{1}{a})^e\) (où \(a\) est nombre non nul) |
15 min | Le document 5 étant distribué, l’enseignant demande aux élèves de prendre une feuille papier, calculatrice simple et un crayon ou une plume. Puis il leur demande de travailler les exercices 2 et 3. L’enseignant supervise le travail des élèves tout en apportant des aides supplémentaires aux groupes d’élèves qui n’arrivent pas encore à faire correctement ce qu’il/elle les demande. L’enseignant donne certains exercices de la fiche comme devoir de maison. | Les élèves prennent des dispositions pour rédiger les exercices 3 et 4 du document 5. Les élèves peuvent demander un peu d’aide de son enseignant. |
Production attendue
Ecrit individuel pour les exercices du devoir de maison.
Trace écrite pour l’élève
Définition :
Une figure (plan/carte/schéma) d’une situation réelle est, si possible réalisé en sorte que les longueurs de la figure soient proportionnelles aux longueurs réelles. On dit que la figure est à l’échelle.
L’échelle \(e\) de la figure est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur la carte et les longueurs réelles : la longueur \(l_c\) sur la carte est obtenue à partir de la distance réelle \(l_c\) par la formule\(l_c = e \times l_r\).
On peut représenter ceci par le tableau de proportionnalité :
Pour une carte ou un plan, l’échelle est plus petite que 1 : on a fait une réduction. Dans ce on écrit souvent par commodité l’échelle sous forme \(e = \frac{1}{a}\)
Souvent, pour une figure, l’échelle est plus grande que 1 : on a fait un agrandissement.
Méthode :
Mettre en place correctement la situation de proportionnalité, et appliquer les méthodes de calcul apprises pour la proportionnalité.
Evaluation et régulation
Devoir maison.
Eléments de remédiation
Les élèves qui n’arrivent pas à satisfaire à l’objectif de la séance resteront après les cours pour être aidés par un de ses camarades de classe ou un enseignant suppléant ayant la compétence en la matière.
Séance 6. Évaluation de la séquence « Proportion et ses applications au pourcentage et à l’échelle »⚓
Supports
Règle graduée ;
Calculatrice simple ;
Document 6.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte | 5 min | Aujourd’hui, on va vous évaluer sur les notions des différentes séances de la séquence. | Chacun des élèves, prend les matériels nécessaires en vue de traiter l’examen. |
Temps 2 Evaluation sommative | 50 min | L’enseignant distribue l’énoncé d’évaluation aux élèves en leur disant que l’examen doit être traité de façon individuelle et personnelle. L’objectif de cette évaluation est de mesurer le niveau d’acquisition des élèves afin notamment de remédier aux difficultés éventuelles avant le passage dans la classe supérieure. L’évaluation portera sur les fondamentaux vus en classe :
Après la correction des copies l’enseignant pourra proposer une correction adaptée en fonction des erreurs analysées dans les productions d’élèves. Il pourra aussi mettre en place des exercices de remédiation pour les élèves en difficultés et leur permettre de passer une évaluation de rattrapage. | Chacun des élèves, reçoit la feuille d’évaluation. |