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1. Les Fractions - Révisions du 2ème cycle⚓
Séance⚓
Compétence(s) ciblée(s)
M1a. Compréhension des nombres et de leurs représentations, y compris de leurs représentations visuelles, et de leurs usages la vie de tous les jours.
M1b. Maîtrise du calcul sur les nombres, ce qui inclut comprendre le sens des opérations, avoir une pratique efficace des techniques et algorithmes de calculs avec ou sans l’utilisation d’instruments électroniques.
Savoirs, savoir-faire, savoir-être/attitudes à acquérir
Comprendre ce que sont les fractions et en avoir des bonnes représentations ; associer des images à des opérations.
Prérequis
Connaissances sur les nombres entiers naturels.
Connaissance de la séquence des entiers naturels et des quatre opérations sur les entiers naturels.
Stratégie d’apprentissage
Partant de notions sur les fractions acquises en 2ème cycle, ainsi que situations de la vie courante impliquant des partages, les élèves sont amenés à développer leur compréhension des fractions puis de leurs propriétés ; ils sont incités à donner un sens, notamment graphique, aux leurs manipulations de cette notion mathématique.
Découpage en séances
Séance (Titre et durée) | Thème, place dans la séquence et très brève description |
|---|---|
Séance 1 Découvrir les fractions | Par plusieurs exemples, on introduit les fractions comme partage d’une quantité en parties égales
|
Séance 2 Utiliser les fractions | Une fraction étant une partie d’un tout, on les utilise pour représenter un rapport de partie à partie
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Séance 3 Comparer des fractions (I) | Comparaison des fractions de même dénominateur
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Séance 4 Décomposition d’une fraction en entier + fraction | Fractions supérieures à l’unité
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Séance 5 Calculer avec des fractions | Addition de fractions de même dénominateur
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Séance 6 Comparer des fractions (II) | Comparaison des fractions de même numérateur
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Séance 7 Fractions équivalentes | Fractions équivalentes
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Séance 8 Carte mentale et problèmes | Évaluation sommative
|
Supports
Papier, crayon, ciseaux, compas, boites en cartons…
Modalités d’évaluation
Evaluation initiale (diagnostique) :
Cette séquence se situant dans la continuité de séquences précédentes sur les nombres entiers naturels, il n’y a pas lieu de faire d’évaluation diagnostique initiale. En revanche, l’enseignant doit être attentif aux élèves ayant, au terme des séquences précédentes, des difficultés de compréhension et de calcul sur les nombres entiers.
Evaluation finale (bilan) et critères/indicateurs de réussite
Exercices de représentation et calculs portant sur les fractions
Prolongements éventuels
La séquence sera suivie par d’autres sur les fractions
Mise au point pour l’enseignant
Il est très important de mener de front une compréhension conceptuelle des fractions et l’acquisition des automatismes.
1. Découvrir les fractions⚓
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte
| 5’ | L’enseignant demande aux élèves des exemples de ce qu’on peut partager en parties égales. L’enseignant donne des précisions et présente une unité qui peut être partagée en plusieurs parts égales, puis demande aux élèves quels sont les mots qui sont utilisés. | Les élèves donnent des exemples : plaque de chocolat, gâteau… et prononcent les mots : un demi, un tiers, un quart |
Temps 2 Recherche | 20’ | L’enseignant présente plusieurs dessins et leur demande de les identifier.
Il choisit un dessin et le partage en parts égales et pose la question suivante : « en combien de parties ce dessin est-il partagé ? » Il dessine au tableau un cercle, un carré, un rectangle, un triangle équilatéral. Il demande aux élèves de les partager en des parties égales.
Puis il ou elle précise que le nombre de parts de chaque entier représente le dénominateur qui se lit de la manière suivante :
| Les élèves identifient dans leur environnement des objets qui peuvent être partagés en parts égales.
Les élèves identifient chaque dessin.
Ils donnent le nombre de parts égales du dessin choisi. Ils réalisent eux-mêmes des partages égaux par pliage ou découpage. A tour de rôle, quelques élèves expliquent ce qu’ils ont fait. Les autres affirment ou infirment les travaux de leurs camarades. |
Temps 3 Cours | 20’ | L’enseignant introduit la notation \(\frac 1 2\), \(\frac 1 3\)… et le terme « dénominateur » et illustre avec différents exemples. L’enseignant montre des figures divisées en parts égales, et en colorie plusieurs. Il introduit le terme « numérateur ». L’enseignant demande aux élèves de dessiner et d’écrire quelques fractions en chiffres et en lettres. | Un élève au tableau écrit les résultats au tableau. Les élèves écrivent les résultats dans leur cahier. Dans chaque cas, un enfant écrit le nombre de parts dessinées au-dessus de la barre et le nombre de parts du dessin au-dessous de la barre. Les autres élèves valident ou non la réponse, puis ils notent les figures et les résultats dans leur cahier.
Un élève choisi fait le résumé du cours en accentuant sur les mots numérateur et dénominateur.  |
Temps 4 Exercices, évaluation formative | 10’ | L’enseignant distribue la feuille d’évaluation | Les élèves répondent aux questions. |
2. Utiliser les fractions ⚓
Supports et matériel
Feutres - règle – papier – compas - fiches d’exercices
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Vocabulaire fractionnaire | 5’ | L’enseignant demande aux élèves de lister les mots qu’ils ont déjà rencontrés dans la séance précédente sur les fractions.
L’enseignant valide en écrivant au fur et à mesure les mots dictés par les élèves au tableau : fraction – numérateur – dénominateur – parties égales – parts – unité – demi – tiers – quart - … ième(s). | Les élèves dictent la liste |
Temps 2 Recherche | 15’ |
Où avez-vous l’habitude de rencontrer des fractions ?
Le professeur donne des précisions concernant son exemple, et profite de l’occasion pour prouver aux élèves qu’on trouve l’utilisation des fractions dans des situations de partage et de calcul. |
a) J’ai bu la moitié de mon verre de jus b) j’ai fait une partie de la route à pied |
Temps 3 Cours | 25’ | Pour bien asseoir les situations de partage et de calcul, le prof considère des cas concrets tels que :
Il demande aux élèves de se grouper pour représenter chaque situation par un dessin, puis de trouver la valeur correspondante. |
Chaque groupe explique son travail en tenant compte de la représentation d’une fraction et de sa lecture.
|
Temps 4 Evaluation | 10’ | L’enseignant passe aux élèves la feuille comportant les questions sous la forme de QCM. | Ils répondent aux questions |
3. Comparaison des fractions de même dénominateur⚓
Supports et matériel
Feutres - règle – papier – compas - fiche d’exercices
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte
| 10’ | L’enseignant donne des fractions différentes, demande d’identifier les numérateurs et dénominateurs. Il/elle demande si les élèves préféreraient avoir - 1/3 de gâteau ou 2/5 de gâteau, - 2/3 de gâteau ou 3/4 de gâteau, - 1/5 de gâteau ou 2/5 de gâteau | Un/e ou plusieurs élèves de la salle répondent aux questions posées par l’enseignant. Ils constatent que dans certains cas, on peut répondre facilement, et dans d’autres pas. |
Temps 2 Recherche | 15’ | L’enseignant demande aux élèves de lui donner plusieurs fractions et les demander ensuite de les regrouper en groupes de fractions ayant le même dénominateur.
Il/elle demande aux élèves de comparer ces fractions en faisant des dessins.
L’objectif est de faire constater que la comparaison est facile quand les fractions ont le même dénominateur. | Les élèves travaillent de façon individuelle, et comparent leurs réponses avec celles de leurs voisins. |
Temps 3 Cours | 15’ | L’enseignant dit qu’il/elle va expliquer comment comparer des fractions de même dénominateur. Puis il/elle énonce le résultat : « Quand deux fractions ont le même dénominateur, celle qui a le plus grand numérateur est la plus grande. » Il/elle introduit les symboles < et >. Il/elle traite des exemples, et fait noter les points principaux dans le cahier. | Les élèves répètent la propriété à haute voix. Ils la notent dans leur cahier, ainsi que les définitions des symboles > et <. |
Temps 4 Exercices et évaluation | L’enseignant fait travailler les élèves sur la feuille d’exercices et d’évaluation. | Les élèves travaillent seuls ou en groupe. |
4. Fractions supérieures à l’unité ⚓
Supports et matériel
Feutres - règle – papier – compas - fiche d’exercices
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte
| 10’ | Pour débuter cette séance, l’enseignant indique aux élèves de prendre trois feuilles de même dimension :
Il/elle pose la question suivante : Qu’est-ce que vous remarquez ? Combien de parties ont été coloriées en mettant ensemble les feuilles 2 et 3 ?
L’enseignant profite de faire un rappel afin de les aider à découvrir la/les remarque/s : Une fraction est un partage de l’unité en parts égales. Le sens du numérateur et du dénominateur. Quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut l’unité complète. Quand le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est plus grande que l’unité.
L’enseignant aide les groupes en difficulté. | Les élèves se mettent en groupe pour chercher la réponse à la question de l’enseignant. Ils remarquent qu’il s’agit de la même dimension de papier ; L’unité est représentée par le papier qui peut être partagé en plusieurs parts : un demi, deux tiers .... Et, quand on colorie toutes les parts, la fraction est la feuille de papier.
Ils écrivent des fractions comme : \(\frac 1 2 ; \frac 2 4 ; \frac 1 3 ; \frac 2 6\) ; 4/3
\(\frac 2 2 ; \frac 5 5 ; \frac 4 4 ; \frac 7 7\) |
Temps 2 Recherche | 10’ | L’enseignant leur dit d’écrire plusieurs fractions de leur choix et d’illustrer chacune des fractions.
Il/elle indique aux élèves qu’ils peuvent utiliser d’autres objets selon leur gré pour avoir des fractions. Chaque groupe doit travailler de son côté ou se faire aider par d’autres groupes au besoin.
L’enseignant passe à travers les groupes pour vérifier la bonne marche du travail. | Les élèves restent en groupe, et travaillent ensemble. En écrivant les fractions, ils découvrent eux-mêmes des fractions égales entre elles, des fractions égales à l’unité, des fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur et des fractions dont le numérateur est supérieur au dénominateur.
Ils illustrent avec des rectangles, des cercles, mais n’arrivent pas à représenter les fractions dont le numérateur est supérieur au dénominateur et demandent de l’aide à l’enseignant. |
Temps 3 Cours | 20’ | Pour répondre à la question posée, il/elle demande à chaque groupe de passer au tableau pour présenter son travail. L’enseignant écrit des fractions au tableau. Il/Elle propose aux enfants d’encadrer celles dont le numérateur dépasse le dénominateur, puis de représenter chacune d’elles par un schéma approprié tout en soulignant leur remarque.
Quant aux fractions dont le numérateur est supérieur au dénominateur, pour les illustrer, il/elle sort de son bureau 2 boites de fromage contenant chacune 8 portions et raconte une histoire pour montrer que dans certains cas, une fraction peut être exprimée par une quantité supérieure à l’unité. On a l’unité entière ajoutée d’une fraction inférieure à l’unité.
Exemple : Ruth et son frère mangent une boite entière de fromage et leur ami Bob mange 3 portions dans l’autre boite. Alors ils mangent ensemble le nombre suivant de parts de fromage : \(\frac 8 8 + \frac 2 4 = 1 + \frac 3 8\)
Il leur dit qu’il s’agit de nombres fractionnaires.
Et l’enseignant ajoute :
« L’unité peut être représentée par une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur. » « On exprime un entier ou la somme d’un entier et d‘une fraction réduite sous la forme d’une fraction supérieure à 1 » ;
| Après discussions, les élèves valident leurs travaux avec l’accord de l’enseignant, mais quant aux représentations, elles ne sont pas toutes exactes. Après l’exemple de l’enseignant, les élèves écrivent toutes les autres fractions comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
Ils font la synthèse en remarquant que lorsque les fractions sont supérieures à l’unité, le numérateur est plus grand que le dénominateur. |
Temps 4 Exercices et évaluation | 15’ | L’enseignant passe les feuilles de l’évaluation aux élèves. | Les élèves répondent aux questions |
5. Addition de fractions de même dénominateur⚓
Supports et matériels
Feutres - règle – papier – compas - fiche d’exercices.
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte
| 5’ | L’enseignant présente une situation problème aux élèves. Il leur dit :
« Au cours du week-end, Magalie a acheté plusieurs gâteaux identiques, et en a partagé des tranches pour ses 2 enfants. Vendredi, elle a donné 3/8 d’un gâteau à Marc, et 4/8 à Lucien. Samedi, Marc a reçu 4/5 d’un gâteau et Lucien en a reçu 3/5. Et dimanche, 4/9 du gâteau sont remis à Marc, et 5/9 à Lucien. Quelle fraction de gâteau a-t-elle donné chaque jour aux 2 enfants ? Expliquez la démarche. Dites combien de gâteaux au moins Magalie avait acheté.
Il demande aux enfants de se mettre en groupe de 5 pour trouver la réponse. | Les élèves reformulent la situation-problème en leur propre langage afin de la mieux approprié. Ils se mettent en groupe de 5 pour réfléchir autour d’une démarche conduisant vers la réponse. |
Temps 2 Recherche | 15’ | L’enseignant remet à chaque groupe leur lot de matériel. Il insiste sur le fait que chaque groupe doit expliquer leur démarche. Il veille à ce que tous les enfants participent. Il/elle passe dans les groupes pour encourager les élèves à participer. Il ne dit pas si les réponses sont justes ou fausses | En groupe, les enfants discutent autour de la question. Avec la règle, le marqueur et les ciseaux, ils représentent pour chaque jour la fraction du disque en carton (gâteau) donnée à chaque enfant puis ils les additionnent. Ils notent sur du papier les résultats et les démarches en attentant la mise en commun. |
Temps 3 Cours | 15’ | L’Enseignant demande à chaque représentant de groupe de présenter à la classe les réponses et les démarches aboutissant à chaque réponse. Il met le travail de chaque groupe en discussion. Il stimule les enfants de la classe à intervenir pour donner leur accord. Il attire l’attention des élèves sur le dénominateur (pareil) et le numérateur (somme) du résultat de l’addition par rapport aux deux fractions à additionner. Le maitre joue le rôle de modérateur. Il fait des précisions quand c’est nécessaire et pose des questions aux groupes et à la classe pour élucider leurs travaux. Il fait dégager la synthèse (résultat et démarche) à partir des travaux des groupes. Il l’écrit au tableau : Pour additionner deux ou plusieurs fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le même dénominateur. | Les groupes exposent leur résultat et leur démarche à la classe pour validation. Les élèves discutent à propos des résultats et des démarches utilisées. Ils valident ou pas les résultats. |
Temps 4 Exercices et évaluation | 15’ | L’Enseignant propose au tableau d’autres exercices d’additions de fractions de même dénominateur que les élèves réalisent de manière individuelle dans la classe. Il prend en charge les élèves en difficultés. | Les élèves réalisent les exercices proposés en gardant une certaine distance par rapport aux matériels. |
6. Comparer des fractions de même numérateur⚓
Supports et matériels
Crayon – papier – règle – compas - fiches d’exercices
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte
| 10’ | L’enseignant demande aux élèves de se mettre par groupe de 3 ou de 4. Il écrit deux fractions au tableau \(\frac 1 4\) et \(\frac 1 2\) et pose la question suivante : laquelle des deux fractions est la plus grande, pourquoi ?
Si le groupe a fait une erreur, l’enseignant demande aux autres groupes de réfléchir sur l’erreur commise. Si le groupe n’a pas fait d’erreur, l’enseignant fait semblant d’en faire en disant : « mais pourquoi 1/2>1/4, alors que 4>2 ? », et demande aux élèves de réfléchir. L’enseignant peut choisir d’autres exemples | Les élèves discutent sur la réponse 1/4>1/2. Ils font des dessins en représentant les fractions 1/4 et 1/2 et discutent entre eux. |
Temps 2 Recherche | 10’ | L’enseignant dessine deux cassaves rondes de même dimension au tableau et partage la première en 7 parties, la seconde en 5 parties puis colorie 3 parts dans les deux cas. Il/elle demande d’écrire les fractions et pose la question suivante : laquelle de ces deux fractions est la plus grande ? Pourquoi ? Finalement il/elle précise que, \(\frac 3 5 > \frac 3 7\) parce que \(\frac 1 5 > \frac 1 7\)
Encore une fois, il/elle considère d’autres exemples. | Les élèves écrivent les 2 fractions et remarquent qu’elles ne sont pas égales même quand les numérateurs sont identiques.
Certains d’entre eux trouvent la bonne réponse, mais ils ne peuvent pas donner la raison pour laquelle : \(\frac 3 5 > \frac 3 7\) |
Temps 3 Cours | 20’ |
Exemple : Pour \(\frac 8 7\) et \(\frac 8 9\), nous avons 7<9, donc \(\frac 1 7> \frac 1 9\)
De ce fait, nous déduisons que \(\frac 8 7> \frac 8 9\)
| Les élèves ont compris l’énoncé ainsi que l’exemple appropriés.
Les élèves réagissent tous, certains se font aider par leurs pairs. |
Temps 4 Exercices et évaluation | 15’ | L’enseignant distribue les feuilles d’évaluation | Les élèves répondent aux questions |
7. Fractions équivalentes⚓
Supports et matériels
Deux (2) disques en carton (type bristol) de même circonférence représentant des cassaves, 1 colle, un marqueur, une paire de ciseaux, une règle
Déroulement de la séance
Etape | Durée | Ce que fait l’enseignant | Ce que fait l’élève |
|---|---|---|---|
Temps 1 Découverte
| 5’ | L’enseignant propose une situation-problème à la classe : Un père donne une cassave de même dimension à chacun de ses enfants. Jacky mange les 3/5 de sa cassave. André mange les 6/10 de sa part. Lequel des deux enfants est le plus gourmand ? Pourquoi ? Il demande aux enfants de reformuler la situation en leurs propres mots en vue de mieux se l’approprier. Il leur demande de se mettre en groupe de 5 pour trouver la solution. | Les élèves s’approprient de la situation-problème en la reformulant de leurs propres mots.
Ils se mettent en groupe de 5 pour réfléchir autour d’une démarche conduisant vers la réponse. |
Temps 2 Recherche | L’Enseignant distribue les matériels à chaque groupe. Il insiste sur le fait que chaque groupe doit répondre à la question et expliquer leur démarche. Il veille à ce que tous les enfants participent. Il encourage les élèves à participer aux discussions de groupe. | Les élèves discutent en groupe autour de la question. Avec la règle, le marqueur et les ciseaux, ils représentent les fractions de cassaves au moyen des disques en carton.
Ils dégagent une démarche pour les comparer ; par exemple, ils peuvent les placer les uns sur les autres. Ils notent leurs réponses sur du papier en attentant la mise en commun | |
Temps 3 Cours | L’Enseignant demande à chaque représentant de groupe de présenter à la classe les réponses et les démarches aboutissant à la réponse. Il met le travail de chaque groupe en discussion puis il stimule les enfants de la classe à intervenir pour donner leur accord. Il attire l’attention des élèves sur la relation multiplicative (x2) qu’il y a entre les numérateurs des deux fractions, et cette même relation qui existe entre les deux dénominateurs. Le maitre joue le rôle de modérateur. Il fait des précisions quand c’est nécessaire et pose des questions aux groupes et à la classe pour éclaircir les zones d’ombres. Il fait tirer la synthèse : Quand on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un seul et même nombre, la nouvelle fraction obtenue est égale à la première. On dit alors qu’elles sont équivalentes. | Chaque groupe expose son résultat et sa démarche à la classe pour validation. Les élèves de la classe discutent à propos des résultats et des démarches utilisées. Ils valident ou pas les résultats. Ils identifient la relation multiplicative qui existe entre les numérateurs des fractions et leurs dénominateurs. Ils vérifient que les deux termes de la première fraction (3/5) ont été multipliés chacun par le même nombre (2) pour donner la deuxième fraction 6/10 6/10 =3x2/5x2 | |
Temps 4 Exercices et évaluation |
| L’Enseignant propose aux élèves d’autres exercices qu’il peut tirer du manuel de mathématiques des élèves. Ces derniers les réalisent de manière individuelle dans la classe. Il prend en charge les élèves en difficultés. | Les élèves réalisent les exercices proposés en gardant une certaine distance par rapport aux matériels ; mais en appliquant la démarche édictée par la synthèse. |